以 哲 学 的 方 式 从 总 体 上 探 讨 数 学 发 展 的 规 律 、 数 学 与 物 质 世 界 的 关 系 、 数 学 基 础 问 题 、 数 学 本 体 论 、 数 学 真 理 论 以 及 数 学 文 化 等 构 成 了 一 个 专 门 的 领 域 —— 数 学 哲 学 。 就 整 体 而 言 ， 数 学 教 育 应 属 于 数 学 文 化 的 范 畴 。
在 一 定 条 件 下 ， 教 师 的 教 学 思 想 、 教 学 方 法 、 教 学 态 度 和 教 学 行 为 都 会 受 到 哲 学 普 遍 规 律 的 支 配 。 如 果 自 觉 地 去 认 识 这 些 规 律 并 指 导 实 践 ， 那 么 就 可 以 从 “ 自 由 王 国 ” 达 到 “ 必 然 王 国 ” 。 这 是 一 个 艰 难 的 过 程 ， 实 践 、 改 革 、 再 实 践 ， 循 环 往 复 ， 逐 渐 趋 近 教 育 目 的 和 结 果 的 统 一 。
许 多 数 学 大 家 都 十 分 重 视 数 学 教 育 ， 如 克 莱 因 ， 在 美 国 六 、 七 十 年 代 所 谓 “ 新 数 学 ” 运 动 中 ， 他 从 数 学 哲 学 、 数 学 历 史 的 角 度 阐 明 了 自 己 对 数 学 改 革 的 态 度 ， 在 其 著 作 中 ， 表 现 出 了 对 数 学 教 育 状 况 的 担 忧 。 著 名 数 学 教 育 家 R· 柯 朗 批 评 说 ： “ 微 积 分 的 教 学 方 法 有 时 流 于 机 械 ， 不 能 体 现 出 这 门 学 科 乃 是 一 种 撼 人 心 灵 的 智 力 奋 斗 的 结 晶 。 ” 由 于 受 到 这 种 从 定 理 到 定 理 ， “ 缺 少 激 情 ” ， “ 忽 视 数 学 历 史 ” ， “ 流 于 机 械 ” 的 数 学 教 育 的 影 响 ， 使 得 人 们 对 数 学 的 认 识 所 产 生 的 偏 见 根 深 蒂 固 。 一 般 人 认 为 数 学 仅 仅 是 科 学 家 、 工 程 师 、 金 融 家 所 用 的 工 具 和 技 巧 。这 种 看 法 “ 就 如 同 把 达 · 芬 奇 的 画 《 最 后 的 晚 餐 》 看 作 是 画 布 上 的 颜 料 结 合 一 样 。 ” 岂 能 感 受 到 “ 撼 人 心 灵 的 智 力 奋 斗 ” ？ 感 受 数 学 的 激 情 、 美 和 深 刻 的 内 涵 ？ 诚 然 ， 在 教 学 的 领 地 里 要 登 上 至 高 的 境 界 ， 谈 何 容 易 ， 需 要 不 断 地 学 习 、 探 索 和 实 践 。
恩 格 斯 十 分 关 注 数 学 的 发 展 极 其 成 就 ， 关 注 数 学 和 哲 学 的 关 系 。 如 他 对 微 积 分 的 创 立 给 予 了 极 高 的 评 价 ， 指 出 ： “ 在 一 切 理 论 成 就 中 ， 未 必 再 有什 么 像 17 世 纪 下 半 叶 微 积 分 的 发 明 那 样 被 看 作 是 人 类 精 神 的 最 高 胜 利 了 。 ” 他 还 认 为 ： “ 数 学 中 的 转 折 点 是 笛 卡 尔 的 变 数 ， 有 了 变 数 ， 运 动 进 入 了 数 学 ， 有 了 变 数 ， 辩 证 法 进 入 了 数 学。 ” 这 开 创 了 数 学 发 展 的 新 时 代 ， 从 常 量 数 学 到 变 量 数 学 的 时 代 —— 微 积 分 的 时 代 。 因 此 ，微 积 分 的 创 立 是 数 学 发 展 中 的 一 座 里 程 碑 。 它 的 创 立 、 发 展 、 成 熟 是 众 多 数 学 家 奋 斗 的 结 晶。 尽 管 它 已 有 数 百 年 的 历 史 ， 但 它 仍 是 现 代 数 学 很 多 分 支 的 基 础 。
函 数 、 极 限 和 导 数 （ 函 数 的 变 化 率 ） 是 支 撑 微 积 分 知 识 体 系 的 三 个 最 重 要 的 概 念 ， 这 些 概 念 的 内 涵 充 满 了 唯 物 辩 证 法 的 哲 理 。
函 数 是 微 积 分 的 研 究 对 象 。 物 质 世 界 一 切 都 处 于 运 动 之 中 ， 运 动 是 绝 对 的 ； 同 时 ， 运 动 也 是 变 化 的 。 对 各 种 变 化 中 量 与 量 的 依 赖 关 系 的 研 究 ， 产生 了 函 数 这 一 概 念 。 经 过 许 多 数 学 家 的 思 索 、 加 工 、 提 炼 ， 才 形 成 今 日 严 格 、 精 确 定 义 的 函 数 概 念 。 从 哲 学 层 面 上 看 ， 函 数 是 从 量 的 角 度 对 普 遍 联 系 的 物 质 世 界 运 动 这 一 永 恒 真 理 的 抽 象 描 述 ， 是 刻 画 运 动 变 化 中 变 量 相 依 关 系 的 抽 象 的 数 学 模 型 。 函 数 关 系 这 一 概 念 是 十 分 抽 象 的 ， 因 而 其 应 用 就 相 当 广 泛 ， 不 仅 在 数 学 中 ， 而 且 在 自 然 科 学 ， 甚 至 人 文 科 学 、 经 济 学 、 管 理 学 中 也 比 比 皆 是 。 牛 顿 的 万 有 引 力 公 式 、 爱 因 斯 坦 的 质 能 关 系 式 ， 经 济 学 中 的 哈 罗 德 模 型 等 等 ， 都 是 具 体 的 函 数 关 系 ， 它 们 都 是 在 一 个 特 定 的 运 动 形 式 中 深 刻 地 揭 示 出 所 呈 现 的 “ 量 与 量 的 依 赖 关 系 ” 。
极 限 论 是 微 积 分 学 的 基 石 。 其 概 念 描 述 ， 看 似 简 单 ，然 而 ， 从 极 限 思 想 的 产 生 、 形 成 ， 直 至 精 确 定 义 ， 使 之 成 为 微 积 分 的 牢 固 基 础 ， 却 经 历 了 漫 长 的 岁 月 。 它 是 数 学 的 创 造 性 思 维 活 动 中 最 光 彩 的 亮 点 之 一 。
极 限 概 念 刻 画 了 一 个 变 量 的 变 化 过 程 和 结 果 ， 生 动 地 反 映 了 变 化 过 程 和 变 化 结 果 相 对 立 和 相 统 一 的 关 系 ， 使 我 们 从 中 认 识 到 近 似 和 精 确 的 对 立 统 一 ， 量 变 到 质 变 的 辩 证 规 律 ， 有 限 与 无 限 的 辩 证 规 律 。
导 数 是 微 积 分 研 究 的 主 要 问 题 之 一 ， 是 一 个 特 定 关 系 式 （ 平 均 变 化 率 ） 的 极 限 ， 因 而 也 有 和 极 限 概 念 相 同 的 哲 学 诠 释 。 除 此 之 外 ， 我 们 用 哲 学 的 观 点 分 析 导 数 概 念 的 定 义 过 程 ， 会 发 现 它 也 体 现 了 哲 学 中 “ 否 定 之 否 定 ” 的 规 律 。
培 养 学 生 的 人 文 素 质 和 思 维 水 平 ， 是 微 积 分 课 程 和 哲 学 课 程 教 学 目 的 的 共 同 点 ， 尽 管 它 们 涉 足 的 内 容 迥 然 不 同 ， 但 是 思 维 和 数 学 思 维 的 特 点 都 有 相 似 之 处 ， 它 们 都 是 一 种 高 度 抽 象 化 和 理 论 化 的 思 维 。 因 此 ， 在 培 养 学 生 思 维 能 力 方 面 ， 它 们 可 以 相 互 促 进 。 如 果 在 微 积 分 教 学 中 ， 自 然 地 而 不 是 生 硬 地 、 必 要 地 而 不 是 牵 强 地 ， 对 某 些 概 念 、 方 法 、 思 想 注 入 哲 学 的 理 解 ， 提 升 到 辩 证 思 维 的 高 度 ， 让 辩 证 法 进 入 教 学 。 这 样 ， 既 能 提 升 学 生 的 认 识 ， 又 可 提 高 学 生 对 哲 学 课 的 兴 趣 。 其 实 ， 在 辩 证 思 维 方 法 中 ， 归 纳 与 演 绎 、 分 析 与 综 合 、 个 别 与 一 般、 抽 象 与 具 体 、 抓 主 要 矛 盾 和 矛 盾 的 主 要 方 面 也 是 数 学 思 维 中 常 用 的 范 畴 。 当 然 ， 要 结 合 得 好 也 是 不 容 易 的 ， 仍 需 摸 索 、 实 践 。
（ 共 科 部 赖 家 镛 ）
